Randelementmethoden

1 Einführung.- 1.1 Das Konzept der Randelementmethode.- 1.1.1 Grundbegriffe.- 1.1.2 Ein physikalisches Beispiel.- 1.1.3 Fundamentallösungen.- 1.1.4 Potentiale und Randintegraloperatoren.- 1.2 Numerik von Randintegralgleichungen.- 1.2.1 Galerkin-Verfahren.- 1.2.2 Effiziente Verfahren zur Lösung der Galerkin-Gleichungen.- 1.2.2.1 Quadraturverfahren.- 1.2.2.2 Lösen des linearen Gleichungssystems.- 1.2.2.3 Panel-Clustering.- 2 Elliptische Differentialgleichungen.- 2.1 Funktionalanalytische Grundlagen.- 2.1.1 Banach- und Hilbert-Räume.- 2.1.1.1 Normierte Räume.- 2.1.1.2 Lineare Operatoren.- 2.1.1.3 Banach-Räume.- 2.1.1.4 Einbettungen.- 2.1.1.5 Hilbert-Räume.- 2.1.2 Dualräume.- 2.1.2.1 Dualraum eines normierten, linearen Raumes.- 2.1.2.2 Dualer Operator.- 2.1.2.3 Adjungierter Operator.- 2.1.2.4 Gelfand-Dreier.- 2.1.2.5 Schwache Konvergenz.- 2.1.3 Kompakte Operatoren.- 2.1.4 Fredholm-Riesz-Schauder-Theorie.- 2.1.5 Bilinear- und Sesquilinearformen.- 2.1.6 Existenzsätze.- 2.1.7 Interpolationsräume.- 2.2 Geometrische Grundlagen.- 2.2.1 Funktionenräume.- 2.2.2 Glattheit von Gebieten.- 2.2.3 Normalenvektoren.- 2.2.4 Randintegrale.- 2.3 Sobolev-Räume auf Gebieten ?.- 2.4 Sobolev-Räume auf Oberflächen ?.- 2.4.1 Definition der Sobolev-Räume auf ?.- 2.4.2 Sobolev-Räume auf ?0 ? ?.- 2.5 Einbettungssätze.- 2.6 Spur-Operatoren.- 2.7 Greensche Formeln und Normalenableitungen.- 2.8 Der Lösungsoperator.- 2.9 Elliptische Randwertprobleme.- 2.9.1 Klassische Formulierung elliptischer Randwertprobleme.- 2.9.1.1 Inneres Dirichlet-Randwertproblem (IDP).- 2.9.1.2 Inneres Neumann-Randwertproblem (INP).- 2.9.1.3 Gemischtes inneres Randwertproblem (IDNP).- 2.9.1.4 Äußeres Dirichlet-Randwertproblem (ÄDP).- 2.9.1.5 Äußeres Neumann-Randwertproblem (ÄNP).- 2.9.1.6 Gemischtes äußeres Randwertproblem (ÄDNP).- 2.9.1.7 Transmissionsproblem (TP).- 2.9.2 Variationsformulierung elliptischer Randwertprobleme.- 2.9.2.1 Inneres Dirichlet-Randwertproblem (IDP).- 2.9.2.2 Inneres Neumann-Randwertproblem (INP).- 2.9.2.3 Gemischtes inneres Randwertproblem (IDNP).- 2.9.2.4 Funktionenräume für Außenraumprobleme.- 2.9.2.5 Äußeres Dirichlet-Randwertproblem (ÄDP).- 2.9.2.6 Äußeres Neumann-Randwertproblem (ÄNP).- 2.9.2.7 Gemischtes äußeres Randwertproblem (ÄDNP).- 2.9.2.8 Transmissionsproblem (TP).- 2.9.3 Äquivalenz von starker und schwacher Formulierung.- 2.9.3.1 Innenraumprobleme.- 2.9.3.2 Außenraumprobleme.- 2.10 Existenz und Eindeutigkeit.- 2.10.1 Innenraumprobleme.- 2.10.1.1 Inneres Dirichlet-Randwertproblem.- 2.10.1.2 Inneres Neumann-Randwertproblem.- 2.10.1.3 Gemischtes inneres Randwertproblem.- 2.10.2 Außenraumprobleme.- 2.10.2.1 Allgemeiner elliptischer Operator mit aminc > ?b?2.- 2.10.2.2 Laplace-Operator.- 2.10.2.3 Helmholtz-Gleichung.- 3 Elliptische Randintegralgleichungen.- 3.1 Randintegraloperatoren.- 3.1.1 Das Newton-Potential.- 3.1.2 Abbildungseigenschaften der Randintegraloperatoren.- 3.2 Regularität der Lösungen der Randintegralgleichungen.- 3.3 Sprungrelationen und Darstellungsformeln.- 3.3.1 Sprungeigenschaften der Potentiale.- 3.3.2 Explizite Darstellung des Randintegraloperators V.- 3.3.3 Explizite Darstellungen der Randintegraloperatoren K und K?.- 3.3.4 Explizite Darstellung des Randintegraloperators W.- 3.4 Integralgleichungen für elliptische Randwertprobleme.- 3.4.1 Die indirekte Methode.- 3.4.1.1 Innenraumprobleme.- 3.4.1.2 Außenraumprobleme.- 3.4.1.3 Transmissionsproblem.- 3.4.2 Die direkte Methode.- 3.4.2.1 Innenraumprobleme.- 3.4.2.2 Außenraumprobleme.- 3.4.3 Vergleich der direkten und indirekten Formulierungen.- 3.5 Eindeutige Lösbarkeit der Randintegralgleichungen.- 3.5.1 Existenz und Eindeutigkeit für geschlossene Oberflächen und Dirichlet- oder Neumann-Randbedingungen.- 3.5.2 Existenz- und Eindeutigkeit für das gemischte Randwertproblem.- 3.5.3 Schirmproblem.- 3.6 Calderón-Projektor.- 3.7 Poincaré-Steklov-Operator.- 3.8 Invertierbarkeit von Randintegraloperatoren 2. Art.- 3.9 Randintegralgleichungen zur Helmholtz-Gleichung.- 3.9.1 Helmholtz-Gleichung.- 3.9.2 Integralgleichungen und Resonanzen.- 3.9.3 Existenz von Lösungen des Aussenraumproblems.- 3.9.4 Modifizierte Randintegralgleichungen.- 4 Randelementmethoden.- 4.1 Randelemente für die Potentialgleichung in ?3.- 4.1.1 Modellproblem 1: Dirichlet-Problem.- 4.1.2 Paneelierungen.- 4.1.3 Unstetige Randelemente.- 4.1.4 Galerkin-Randelementmethode.- 4.1.5 Konvergenzrate unstetiger Randelemente.- 4.1.6 Modellproblem 2: Neumann Problem.- 4.1.7 Stetige Randelemente.- 4.1.8 Galerkin-BEM mit stetigen Randelementen.- 4.1.9 Konvergenzraten mit stetigen Randelementen.- 4.1.10 Modellproblem 3: Gemischtes Randwertproblem.- 4.1.11 Modellproblem 4: Schirmprobleme.- 4.2 Konvergenz abstrakter Galerkin-Verfahren.- 4.2.1 Abstraktes Variationsproblem.- 4.2.2 Galerkin-Approximation.- 4.2.3 Kompakte Störungen.- 4.2.4 Konsistente Störungen. Lemma von Strang.- 4.2.5 Aubin-Nitsche-Dualitätstechnik.- 4.2.5.1 Fehler in Funktionalen der Lösung.- 4.2.5.2 Störungen.- 4.3 Beweis der Approximationseigenschaft.- 4.3.1 Approximationseigenschaften auf ebenen Paneelen.- 4.3.2 Approximation auf gekrümmten Paneelen.- 4.3.3 Stetigkeit von Funktionen in Hstws (?) für s > 1.- 4.3.4 Approximationseigenschaften von SGp,?1.- 4.3.5 Approximationseigenschaften von SGp,0.- 4.4 Inverse Abschätzungen.- 4.5 Kondition der Systemmatrizen.- 5 Berechnung der Matrixkoeffizienten.- 5.1 Kernfunktionen und stark singuläre Integrale.- 5.1.1 Geometrische Voraussetzungen.- 5.1.2 Cauchy-singuläre Integrale.- 5.1.3 Explizite Voraussetzungen an Cauchy-singuläre Kernfunktionen.- 5.1.4 Kernfunktionen in lokalen Koordinaten.- 5.2 Relativkoordinaten.- 5.2.1 Der Fall identischer Paneele.- 5.2.2 Der Fall einer gemeinsamen Kante.- 5.2.3 Der Fall eines gemeinsamen Punktes.- 5.2.4 Überblick: Regularisierende Koordinatentransformationen.- 5.2.5 Berechnung der rechten Seite und des integralfreien Terms.- 5.3 Numerische Integration.- 5.3.1 Numerische Quadraturverfahren.- 5.3.1.1 Einfache Quadraturverfahren.- 5.3.1.2 Tensor-Gauß-Quadratur.- 5.3.2 Lokale Quadraturfehlerabschätzungen.- 5.3.2.1 Lokale Fehlerabschätzungen für einfache Quadraturverfahren..- 5.3.2.2 Ableitungsfreie Quadraturfehlerabschätzungen für analytische Integranden.- 5.3.2.3 Abschätzung der Analytizitätsellipsen der regularisierten Integranden.- 5.3.2.4 Quadraturordnungen für regularisierte Kernfunktionen.- 5.3.3 Einfluß der Quadratur auf den Diskretisierungsfehler.- 5.3.4 Überblick über die Quadraturordnungen für das Galerkin-Verfahren mit Quadratur.- 5.3.4.1 Integralgleichungen negativer Ordnung.- 5.3.4.2 Gleichungen nullter Ordnung.- 5.3.4.3 Gleichungen positiver Ordnung.- 6 Lösung der linearen Gleichungssysteme.- 6.1 cg-Verfahren.- 6.1.1 cg-Grundalgorithmus.- 6.1.2 Vorkonditionierungsverfahren.- 6.1.3 Orthogonalitätsrelationen.- 6.1.4 Konvergenzrate des cg-Verfahrens.- 6.1.5 Verallgemeinerungen.- 6.2 Abstiegsverfahren für nichtsymmetrische Systeme.- 6.2.1 Abstiegsverfahren.- 6.2.2 Konvergenzrate von MR und Orthomin(k).- 6.3 Iterative Löser für Gleichungen negativer Ordnung.- 6.4 Iterative Löser für Gleichungen positiver Ordnung.- 6.4.1 Integralgleichungen positiver Ordnung.- 6.4.2 Iterationsverfahren.- 6.4.3 Mehrgitterverfahren.- 6.4.3.1 Motivation.- 6.4.3.2 Mehrgitteralgorithmus für Integralgleichungen positiver Ordnung.- 6.4.3.3 Geschachtelte Iteration.- 6.4.3.4 Konvergenzanalyse für Mehrgitterverfahren.- 6.5 Mehrgitterverfahren für Gleichungen negativer Ordnung.- 7 Panel-Clustering.- 7.1 Der Panel-Clustering-Algorithmus.- 7.1.1 Voraussetzungen an den Integraloperator.- 7.1.2 Clusterbaum und zulässige Überdeckung.- 7.1.3 Approximation der Kernfunktion.- 7.1.3.1 ?ebyšev-Interpolation.- 7.1.3.2 Multipol-Entwicklung.- 7.1.3.3 Abstrakte Panel-Clustering-Approximation.- 7.1.4 Die Matrix-Vektor-Multiplikation im Panel-Clustering-Format.- 7.1.4.1 Berechnung der Fernfeldkoeffizienten.- 7.1.4.2 Cluster-Cluster-Wechselwirkung.- 7.1.4.3 Auswertung der Panel-Clustering-Approximation einer Matrix-Vektor-Multiplikation.- 7.1.4.4 Algorithmische Beschreibung des Panel-Clustering-Verfahrens.- 7.2 Realisierung der Teilalgorithmen.- 7.2.1 Algorithmische Realisierung der ?ebyšev-Approximation.- 7.2.2 Entwicklung mit variabler Ordnung.- 7.3 Fehleranalyse für das Panel-Clustering-Verfahren.- 7.3.1 Lokale Fehlerabschätzungen.- 7.3.1.1 Lokale Fehlerabschätzung für die ?ebyšev-Interpolation..- 7.3.2 Globale Fehlerabschätzungen.- 7.3.2.1 L2—Abschätzungen des Panel-Clustering-Fehlers ohne partielle Integration.- 7.3.2.2 L2—Abschätzungen des Panel-Clustering-Fehlers mit partieller Integration.- 7.3.2.3 Stabilität und Konsistenz für das Panel-Clustering-Verfahren..- 7.4 Der Aufwand der Panel-Clustering-Methode.- 7.4.1 Anzahl der Cluster und Blöcke.- 7.4.2 Der algorithmische Aufwand der Panel-Clustering-Methode.- 7.5 Panel-Clustering für Kollokationsverfahren.- Liste der Symbole.